Aslında Türev Nedir? Türev Ne İşe Yarar? İntegral Türevin Neresinde?

Resim-1-aslinda-turev-nedir
Resim-1: www.pixabay.com

İçerik

[Giriş]
[Aslında Türev Nedir?]
[Türev ve İntegralin Kullanım Alanları]
[Vide Örnek]
[Kaynak]

Giriş

Ben bir matematikçi veya matematik öğretmeni değilim. Bu yazıyı yazmaktaki amacım lise dönemimde işlediğim matematik derslerinde anlam veremediğim konulardan biri olan türev konusuna formullerin dışındaki haliyle değinebilmek. Türevin gerçek hayattaki karşılığını anlamlandırabilmek.

Türevi hayatımızın hangi problemlerini çözmek için kullandığımızı araştırabildiğim ve öğrenebildiğim kadarıyla yazmak ve merak edenlere bir yol göstermek istedim. Okuyacağınız bilgileri en alt başlıktaki kaynak bölümünden teyit edebilirsiniz.

Aslında Türev Nedir?

Türev hesabı yaparaken, aslında bir şeyin değişim hızını hesaplıyoruz.[1-a] Bu şey örneğin bir hayvan türünün nüfusunun artışı veya azalmasındaki değişim hızı olabilir. Değişim hızı derken, şunu demek istiyoruz;

Diyelim ki, belli bir hayvan türünden yaşadığımız bölgede ilk yıl 50 tane vardı. İkinci yıl 100 tane oldular ve üçüncü yıl 200 tane oldular. Burada gördüğümüz değişim hızı, her yıl ikiye katlanarak artan bir nüfustur.

Bunu anladığımızda, şunu da fark ediyoruz; sayılabilen ve ölçülebilen bir şeyin değişim hızını biliyorsak, biz o şeyi belirleyebiliriz.[1-a] Yine aynı örnek üzerinden gidecek olursak; ben üçüncü yılda 200'e ulaşan hayvan nüfusunun her yıl ikiye katlanarak artmış olduğunu biliyorsam, geçen yıl bu nüfusun 100 olduğunu belirleyebilirim. Bunu da integral hesabıyla yapabilirim. Yani integral aslında türevin tersidir derken tam olarak bundan bahsediyoruz.[1-a]

Tabii şimdi diyebilirsiniz ki bu kadar kolay bir şeyi biz niye f(x) = ... diye başlayan formullerle ifade etmek zorundayız o zaman? Şöyle ki, ilk yıl 50 tane olan hayvan nüfusunun otuz yıl, hatta yüz yıl sonraki olası nüfus sayımını hesaplamak istediğimizde, teker teker her yılı hesaplamamız uzun zamanımızı alacaktır. Bu yüzden kullanabileceğimiz bir sistem yaratmamız gerekir. İşte Türev ve İntegral konularıyla, bu konulara ilişkin formullerle, hesaplamalarla bizler bu sistemi kurmaya çalışıyoruz. Hatta bırakın ilk yıl 50 tane olan hayvanın yüz yıl sonraki nüfusunu, daha karmaşık olan, hayvanların avlanmasını da katarak yüz yıl sonra bu hayvan türünün neslinin tükenip tükenmeyeceğini, o hayvanların şu an bildiğimiz değişim hızlarını kontrol ederek anlayabiliriz.

İncelediğim kaynaklardan biri olan Matematiğin Kısa Tarihi isimli kitapta şu satırlar benim çok ilgimi çektiğinden sizlerle de paylaşmak istiyorum;

"... türev ve integral hesabına asıl teşvik eden şey fizik, yani doğada örüntülerin olduğunun farkına varılması olmuştur. Doğadaki bir çok temel örüntü, hala tam olarak anlayamadığımız nedenlerden ötürü değişim hızı içeriyor. Yani bu örüntüler sadece türev ve integral hesabı yoluyla anlam kazanıp keşfedilebilir."[1-b]

Bu paragrafı okuduktan yirmi sayfa kadar sonra da karşıma şöyle bir şey çıkıyor;

"Newton'ın büyük keşfi, doğadaki örüntülerin bazı miktarlardaki düzenlilik olarak değil, bu miktarların türevleri arasındaki ilişkiler olarak kendini göstermesidir. Doğanın yasaları türev ve integral hesabı diliyle yazılır; önemli olan fiziksel değişkenlerin değeri değil, bu değerlerin hangi hızla değiştiğidir... Newton'ın Principia adlı eserinde verdiği asıl mesaj, keşfedip kullandığı bazı doğa yasaları değildir; asıl önemli olan, bu tür yasaların var olduğu fikrini ileri sürmesi ve doğa yasalarını modelleme yolunun türev denklemleri olduğunu kanıtlarıyla birlikte göstermesidir..."[1-c]

Gördüğünüz gibi, aslında türev sandığımızdan (sayının üssünü katsayı olarak önüne alıp, üssü 1 azaltmaktan) daha fazlasıymış. Bu arada fazlası demişken, türev ve integral hakkında daha ayrıntılı bilgiler için evrimagaci.org sitesinde "Türev ve İntegrali Gerçekten Anlamak: Türev Nedir? İntegral Nedir?" başlıklı yazıyı okuyabilirsiniz. [2]

Türev ve İntegralin Kullanım Alanları

Resim-2-aslinda-turev-nedir?
Resim-2: www.pexels.com

"Bilimde türev denkleminden sıklıkla yararlanılır: doğal sistemleri modellemek için şu ana kadar en çok kullanılan yöntemdir. Rasgele bir uygulama seçecek olursak, insansız uzay araçlarının yörüngelerini hesaplamada her zaman kullanılır. Örneğin Mars'a gönderilen Mariner, güneş sistemini inceleyip bize Jüpiter'in, Satürn'ün, Uranüs'ün ve Neptün'ün muhteşem görüntülerini gönderen iki Pioneer uzay aracı ve son dönemde Kızıl Gezegen'i inceleyen altı tekerlekli robot araçları olan Mars Rovers Spirit ve Opportunity bunlar arasındadır.
Şu an Satürn'ü ve uydularını inceleyen Cassini başka bir örnektir... Türev ve İntegral hesabı, uzay çalışmalarında kullanılan tek teknik değil elbette. Ama türev ve integral hesabı olmasa, bu uzay gemileri yerden kalkış yapamazdı.
Havadaki her uçak, yolda ilerleyen her otomobil, her asma köprü ve depreme dayanıklı tüm binalar, uygulamada tasarımını kısmen türev ve integral hesabına borçluudur. Hayvanların nüfusunun zamana bağlı değişimini anlayışımız bile türev denklemlerinden kaynaklanıyor. Aynı şey salgın hastalıkların yayılmasında da geçerli. Hastalığın yayılmasına müdahale etme ve önlemede en etkili yolu planlamak için türev ve integral hesabı modelleri kullanılıyor..."[1-d]

"Radyo, televizyon ve jet motorlu uçak gibi en önemli teknolojik gelişmelerin çoğu, birçok şekilde türev denklemi matematiğine bağlıdır... Türev denklemleri, şu an içinde yaşadığımız toplumu birçok şekilde biçimlendirmiştir. Bunlar üzerinde biraz düşünürseniz, perde arkasında olan bitenlerin farkına varırsınız."[1-e]

Vide Örnek

Aşağıdaki videoda, özelikle dakika 03:30 ile 01:20:45 arasını izlemelisiniz.[3]


Kaynak

  1. Stewart, Ian. Matematiğin Kısa Tarihi. Çev. Sibel Sevinç ALFA | Bilim 6. Basım (Haziran 2020)
    a-[Sayfa-125], b-[Sayfa-127], c-[Sayfa-144 son paragraf ve sf. 145 ilk paragraf], d-[Sayfa-143], e-[Sayfa-160]
  2. Evrim Ağacı (evrimagaci.org) - Türev ve İntegrali Gerçekten Anlamak: Türev Nedir? İntegral Nedir? - https://evrimagaci.org/turev-ve-integrali-gercekten-anlamak-turev-nedir-integral-nedir-2901
  3. Video: MZV-MEF YetGen, 21. YY Yetkinlikleri Farkındalık Programı, Excel Vaka Çalışmaları #1, YouTube

Yorumlar